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TOSSランドNo: 1125221 更新:2013年10月14日

パスカルの三角形(3) 数学の美しさを伝える授業


説明1:

パスカルの三角形にはもっと芸術的な性質があります。
今、書いたパスカルの三角形は5段でした。ここに16段のものがあります。

指示1:

赤鉛筆と青鉛筆を出しなさい。
プリントの奇数を青で塗ります。偶数は赤です。時間は12分です。

はじめは大雑把に塗っても良い,時間があれば丁寧に塗るように指示する。
このことによって時間差が埋められ,空白の時間ができない。

指示2:

全部塗れたら持ってきます。

早い生徒には、さらにきれいに塗るように指示する。
きれいに塗れた生徒のものを黒板にはる。

指示3:

奇数と偶数を塗り分けただけでこんな形ができました。
これを見て「分かったこと」「気づいたこと」「思ったこと」をプリントの下のほうに、できるだけたくさん箇条書きにしなさい。時間は2分です。

指名
・逆三角形の部分ができている。
・とてもきれい。
・左右対称になっている。
・同じ形がいくつかある。
・周りが全部青になっている。
・赤いかたまりがある。

指示4:

皆さんのは16段あります。これを縮めたものです。(図1)
これを使って、2倍の32段のパスカルの三角形が作れるのです。
2人に一組配ります。相談して作ってごらんなさい。

出来たら、近くのグループのと比べさせる。
意外とずれて作っている生徒がいる。生徒同士で比べることで見つけることができる。

説明2:

皆さんのやった通り、このように組み合わせると32段のものが出来ます。(図2)
これを使うと、さらに倍、64段が作れるのです。

発問1:

この形、大きさは違いますが、模様は同じパターンです。つまり形が同じなのです。
大きさが違っても、形が同じ図形を何というのでしたか。数学の授業でやっているやつです。

相似です。

説明3:

そうです。相似です。この図形は自分自身の中に相似な形があります。
「自己相似」といいます。英語では「フラクタル」。こんな言葉を知っているとかっこいいですね。

説明4:

これらは2色で塗り分けています。偶数と奇数です。言い換えると「2でわって、あまりが0の数と1の数」です。
3で割って、あまりが0,1,2。3色で塗ることも出来ます。

指示5:

4色です。5色です。どれもフラクタルになっていますね。

今日の授業の感想を書きなさい。

生徒の感想
1. 塗るのに時間がかかって大変だったけど、楽しかった。色々な規則があって面白かった。
2. 難しそうで簡単でけっこう楽しくできた。頭の回転を早くするにはもってこいのものだと思った。塗るのはちょっとめんどくさかった。
3. パスカルの三角形は色を塗りわける数によって三角形のでき方が変わってとても面白い。でも何色で塗り分けてもできる形は三角形ということが分かった。
4. 意外に色々なきまりがあってびっくりした。色を塗り分けて塗ったとき、三角形がどんどん大きくなっていくので面白いなあと思った。
5. パスカルの三角形についての感想はちょっとすごいと思った。
6. 色を塗るので手が痛かった。16段じゃなく、もうちょっと少ない方がよかった。パズルみたいのが面白かった。資料がすごかった。
7. パスカルの三角形には、逆三角形が必ず出るんだなあと思った。
8. パスカルの三角形は、計算を使っても出せることが分かった。
9. なんで三角形になるのか不思議だった。
10. 偶数と奇数を塗り分けただけで、パスカルの三角形というものができるなんて思わなかった。
11. ただの数字にある一定のきまりで色を塗ると、ここまで面白い模様になるのが不思議だった。1や2や3にしてもこれと同じような感じになるのかが知りたい。
12.2色で書いてもすごいと思ったのに、3色、4色だともっときれいだった。


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